Координаты гиперболы 1 x. Разбираемся с магией гиперболы

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :

Правила :
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево ;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо .

Пример 6

Построить график функции

Берём параболу и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо :

«Опознавательным маячком» служит значение , именно здесь находится вершина параболы .

Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика (демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу нужно сдвинуть на 2 единицы влево.

Вот ещё один характерный случай:

Пример 7

Построить график функции

Гиперболу (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево :

Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции . В данном примере , иуравнение прямой задаёт вертикальную асимптоту (красный пунктир) графика функции (красная сплошная линия). Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).

Вернёмся к тригонометрическим функциям:

Пример 8

Построить график функции

График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси вдоль оси на влево :

Внимательно присмотримся к полученному красному графику …. Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции. График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций ). Аналогично можно убедиться в справедливости любой другой формулы приведения .

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: , при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равен нулю. Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения , а потом сдвигаем на единиц. Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:

Аргумент функции необходимо представить в виде и последовательно выполнить следующие преобразования:

1) График функции сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: (если , то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси ).

2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на (!!!) единиц , в результате чего будет построен искомый график .

Пример 9

Построить график функции

Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):

1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на(!!!) влево : (красный цвет):

Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .

Продолжаем расправляться с функциями начала урока:

Пример 10

Построить график функции

Представим функцию в виде . В данном случае: Построение проведём в три шага. График натурального логарифма :

1) сожмём к оси в 2 раза: ;
2) отобразим симметрично относительно оси : ;
3) сдвинем вдоль оси на(!!!) вправо : :

Для самоконтроля в итоговую функцию можно подставить пару значений «икс», например, и свериться с полученным графиком.

В рассмотренных параграфах события происходили «горизонтально» – гармонь играет, ноги пляшут влево/вправо. Но похожие преобразования происходят и в «вертикальном» направлении – вдоль оси . Принципиальное отличие состоит в том, что связаны они не с АРГУМЕНТОМ, а с САМОЙ ФУНКЦИЕЙ.

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

Структура второй части статьи будет очень похожа.

1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходитрастяжение её графика вдоль оси ординат .

Правило растянуть вдоль оси в раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат .

Правило : чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.

Догадайтесь, какую функцию я буду снова пытать =)

Пример 11

Построить графики функций .

Берём синусоиду за макушку/пятки:

И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:

Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:

Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .

Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций (Примеры №№1,3) от только что построенных собратьев . Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи. Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики! . Случаи

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k<0

График функции y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат - асимптоты гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами - обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция - это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему , настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое - функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: и . Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция?
Повторим: функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный! ) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция, это значит что каждому допустимому значению переменной (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме « »! Все дело в понятии «область определения» : для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции отрицательные значения аргумента - недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида, где.

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Давай определим область определения. Чему может быть равен? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить - это, поэтому:

или, что то же самое,

(такая запись означает, что может быть любым числом, кроме: знак « » обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком « » обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число в фигурных скобках означает просто число; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если, то на что бы мы его не делили, не получится:

Также возможны некоторые вариации формулы. Например, - это тоже функция, описывающая обратную зависимость.
Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

Давай посмотрим на такую функцию: . Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: .

Вот еще пример: .

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число (), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции. Определите.

2. На рисунке изображен график функции. Определите

3. На рисунке изображен график функции. Определите.

4. На рисунке изображен график функции. Определите.

5. На рисунке приведены графики функций и.

Выбери верное соотношение:

Ответы:

в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный - это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости: , где - скорость, - время в пути, - расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время:

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью км/ч, и доезжает за час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

Известно, что, тогда:

Нужно найти:

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
Придумал? Молодец, если да. Удачи!

ОБРАТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая - это функция вида, где.

По-другому эту функцию называют обратной пропорциональностью, так как увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

или, что то же самое,

График обратной зависимости - гипербола.

2. Коэффициенты, и.

Отвечает за «пологость» и направление графика : чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если, то ветви гиперболы расположены в и четвертях;
если, то во и.

x=a - это вертикальная асимптота , то есть вертикаль, к которой стремится график.

Число отвечает за смещение графика функции вверх на величину, если , и смещение вниз, если .

Следовательно, - это горизонтальная асимптота .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Приветствую вас на очередной лекции по магии функций и интегралов.

Сегодня мы поговорим о гиперболе. Начнём от простого. Самый простой вид гиперболы:

Эта функция, в отличии от прямой в её стандарных видах, имеет особенность. Как мы знаем, знаменатель дроби не может равняться нулю, потому что на ноль делить нельзя.
x ≠ 0
Отсюда делаем вывод, что областью определения является вся числовая прямая, кроме точки 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Если х стремится к 0 справа (записывается вот так: х->0+), т.е. становится очень-очень маленьким, но при этом остаётся положительным, то у становится очень-очень большим положительным (y->+∞).
Если же х стремится к 0 слева (x->0-), т.е. становится по модулю тоже очень-очень маленьким, но остаётся при этом отрицательным, то у также будет отрицательным, но по модулю будет очень большим (y->-∞).
Если же х стремится в плюс бесконечность (x->+∞), т.е. становится очень большим положительным числом, то у будет становиться всё более и более меньшим положительным числом, т.е. будет стремиться к 0, оставаясь всё время положительным (y->0+).
Если же х стремится в минус бесконечность (x->-∞), т.е. становится большим по модулю, но отрицательным числом, то у будет тоже отрицательным всегда числом, но маленьким по модулю (y->0-).

У, как и х, не может принимать значения 0. Он только к нулю стремится. Поэтому множество значений такое же, как и область определения: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Исходя из этих рассуждений, можно схематически нарисовать график функции

Видно, что гипербола состоит из двух частей: одна находится в 1-м координатном углу, где значения х и у положительные, а вторая часть — в третьем координатном углу, где значения х и у отрицательные.
Если двигаться от -∞ к +∞, то мы видим, что функция наша убывает от 0 до -∞, потом происходит резкий скачок (от -∞ до +∞) и начинается вторая ветка функции, которая тоже убывает, но от +∞ до 0. То есть, эта гипербола убывающая.

Если совсем чуть-чуть изменить функцию: воспользоваться магией минуса,

(1")

То функция чудесным образом переместится из 1 и 3 координатных четвертей во 2-ю и 4-ю четверти и станет возрастающей.

Напомню, что функция является возрастающей , если для двух значений х 1 и х 2 ,таких, что х 1 <х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
И функция будет убывающей , если f(х 1) > f(х 2) для тех же значений х.

Ветви гиперболы приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Такие линии, к которым приближается график функции, но никогда их не пересекает, называются ассимптотой данной функции.
Для нашей функции (1) ассимптотами являются прямые х=0 (ось OY, вертикальная ассимптота) и у=0 (ось OX, горизонтальная ассимптота).

А теперь давайте немного усложним простейшую гиперболу и посмотрим, что произойдёт с графиком функции.

(2)

Всего-то добавили константу "а" в знаменатель. Добавление какого-то числа в знаменатель в качестве слагаемого к х означает перенос всей "гиперболической конструкции" (вместе с вертикальной ассимптотой) на (-a) позиций вправо, если а — отрицательное число, и на (-а) позиций влево, если а — положительное число.

На левом графике к х добавляется отрицательная константа (а<0, значит, -a>0), что вызывает перенос графика вправо, а на правом графике — положительная константа (a>0), благодаря которой график переносится влево.

А какая магия может повлиять на перенос "гиперболической конструкции" вверх или вниз? Добавление константы-слагаемой к дроби.

(3)

Вот теперь вся наша функция (обе веточки и горизонтальная ассимптота) поднимется на b позиций вверх, если b — положительное число, и опустится на b позиций вниз, если b — отрицательное число.

Обратите внимание, что ассимптоты передвигаются вместе с гиперболой, т.е. гиперболу (обе её ветки) и обе её ассимптоты надо обязательно рассматривать как неразрывную конструкцию, которая едино передвигается влево, вправо, вверх или вниз. Очень приятное ощущение, когда одним добавлением какого-то числа можно заставлять функцию целиком двигаться в любую сторону. Чем не магия, овладеть которой можно очень легко и направлять её по своему усмотрению в нужную сторону?
Кстати, так управлять можно движением любой функции. На следующих уроках мы это умение будем закреплять.

Перед тем как задать вам домашнее задание, я хочу обратить ваше внимание ещё вот на такую функцию

(4)

Нижняя веточка гиперболы перемещается из 3-го координатного угла вверх — во второй, в тот угол, где значение у положительное, т.е. эта веточка отражается симметрично относительно оси ОХ. И теперь мы получаем чётную функцию.

Что значит "чётная функция"? Функция называется чётной , если выполняется условие: f(-x)=f(x)
Функция называется нечётной , если выполняется условие: f(-x)=-f(x)
В нашем случае

(5)

Всякая чётная функция симметрична относительно оси OY, т.е. пергамент с рисунком графика можно сложить по оси OY, и две части графика точно совпадут друг с другом.

Как видим, эта функция тоже имеет две ассимптоты — горизонтальную и вертикальную. В отличие от рассмотренных выше функций, эта функция является на одной своей части возрастающей, на другой — убывающей.

Попробуем поруководить теперь этим графиком, прибавляя константы.

(6)

Вспомним, что прибавление константы в качестве слагаемого к "х" вызывает перемещение всего графика (вместе с вертикальной ассимптотой) по горизонтали, вдоль горизонтальной ассимптоты (влево или вправо в зависимости от знака этой константы).

(7)

А добавление константы b в качестве слагаемого к дроби вызывает перемещение графика вверх или вниз. Всё очень просто!

А теперь попробуйте сами поэкспериментировать с такой магией.

Домашнее задание 1.

Каждый берёт для своих экспериментов две функции: (3) и (7).
а=первой цифре вашего ЛД
b=второй цифре вашего ЛД
Попробуйте добраться до магии этих функций, начиная с простейшей гиперболы, как я это делала на уроке, и постепенно добавляя свои константы. Функцию (7) уже можете моделировать, исходя из конечного вида функции (3). Укажите области определения, множество значений, ассимптоты. Как ведут себя функции: убывают, возрастают. Чётные — нечётные. В общем, попробуйте провести такое же исследование, как было на уроке. Возможно, вы найдете что-то ещё, о чём я забыла рассказать.

Кстати, обе ветки самой простейшей гиперболы (1) симметричны относительно биссектрисы 2 и 4 координатных углов. А теперь представьте, что гипербола стала вращаться вокруг этой оси. Получим вот такую симпатичную фигуру, которой можно найти применение.

Задание 2 . Где можно использовать данную фигуру? Попробуйте нарисовать фигуру вращения для функции (4) относительно её оси симметрии и порассуждайте, где такая фигура может найти применение.

Помните, как мы в конце прошлого урока получили прямую с выколотой точкой? И вот последнее задание 3 .
Построить график вот такой функции:

(8)

Коэффициенты a, b — такие же, как в задании 1.
с=третьей цифре вашего ЛД или a-b, если ваше ЛД двузначное.
Небольшая подсказка: сначала полученную после подстановки цифр дробь надо упростить, и затем вы получите обычную гиперболу, которую и надо построить, но в конце надо учесть область определения исходного выражения.